VPM-B: Wie funktioniert’s (deutsche Übersetzung)

Dies ist der erste technische Post darüber, wie VPM-B funktioniert. Ich werde nur den Algorithmus beschrieben (mit allen wichtigen Formeln, einige davon vielleicht  in ungewohnter Form), während die physikalische Herleitung in einem späteren Post behandelt werden wird. 

Ich werde nicht versuchen, die ursprüngliche Herleitung nachzubeten (auch schon alleine, weil ich sie nicht wirklich verstehe), sondern vielmehr beschreiben, was ich durch langes Starren auf unsere Implementierung des Modells in Subsurface gelernt habe. Wie vorher schon erklärt haben wir versucht eine unabhängige Neuimplementierung zu machen, haben aber natürlich sicher gestellt, dass die Austauschpläne des ursprünglichen FORTRAN-Programms reproduziert werden. Dieses haben wir letztendlich als die Definition von VPM-B hergenommen.

Zunächst ist dieses dem Bühlmannmodell sehr ähnlich und baut darauf auf. Für diesen Post nehme ich an, dass dieses bekannt ist (falls nicht habe ich hier mal eine kurze Zusammenfassung aufgeschrieben). Insbesondere werden die Sättigungen der verschiedenen Gewebe mit Inertgasen mit der gleichen einfachen Diffusionsgleichung beschrieben:

$$\frac{dp_i}{dt} = \alpha_i(p_{amb}-p_i)$$

wobei die Zeitkonstante \(\alpha_i\) im wesentlichen der Kehrwert der Halbwertzeit des Gewebes ist. 

Der einzige Unterschied besteht darin, wie die Ceiling (die momentan minimal erlaubte Tiefe) aus den Gewebesaettigungen \(p_i\) berechnet wird: Bühlmann verwendet einen affine Zusammenhang mit dem Umgebungsdruck (die Geradengleichung wird durch die gekannten \(a\) und \(b\) Koeffizienten parametrisiert. Verwendet man Gradientenfaktoren, die wird Geradengleichung noch weiter modifiziert (abhängig von der maximalen Ceiling, aber die Ceiling, geplottet als Funktion von  \(p_i\) bleibt eine Gerade, ist also affin).

Für VPM-B ist dies anders: Nur in der nullten Näherung bleibt es eine Gerade: In der Tat wird die Ceiling einfach durch einen konstanten Gradienten (die Differenz zwischen Umgebungsdruck und Gewebedruck) gegeben, dieser ist sogar von der Tiefe unabhängig:

$$p_{amb} – p_i \le G_{0,i}.$$

Dieser Gradient wird als Anfangsgradient  \(G_0\) bezeichnet. In dieser Näherung verhält sich VPM-B genau wie ein Buehlmannmodell mit modifizierten a und b Koeffizienten.

Für die nächste Näherung, die “Boyle-Kompensation” müssen wir etwas über Blasen wissen. Alles, was wir brauchen, ist, dass diese eine Oberfläche haben und dass die Oberfläche zur Gesamtenergie proportional zu ihrer Fläche beiträgt:

$$E_{surf}= \gamma r^2$$

für eine Blase mit Radius \(r\) (wir können numerische Faktoren wie \(4\pi\) in der Proportionalitätskonstantante \(\gamma\) absorbieren). Die Kraft auf die Oberfläche, die diese zu verkleinern sucht, ist dann

$$F_{surf} = \frac{\partial E_{surf}}{\partial r} = 2\gamma r.$$

Diese Kraft wirkt auf die gesamte Fläche, teilen wir durch den Flächeninhalte erhalten wir einen Beitrag zum Druck in der Blase:

$$G=\frac{2\gamma}r.$$

Derartige Formeln, bei denen eine Blasenoberfläche  \(2\gamma/r\) zum Druck beiträgt, werden im Folgenden immer wieder auftauchen.

Insbesondere zu dem Zeitpunkt im Tauchgang mit der tiefsten Ceiling ist der Gradient \(G_0\) genau dies. “Boyle-Kompensation” bedeutet, dass der von nun an tiefenabhängige Gradient (also der Umgebungsdruck minus Gewebedruck) dadurch gegeben ist, dass man eine Blase nach dem Boyle-Marriott-Gesetz expandieren lässt, also dass man annimmt, dass \(pV\) konstant ist. \(p\) im Inneren der Blase (was nach dem Modell mit dem Gewebedruck gleich ist) wird dann berechnet als der Umgebungsdruck plus dem momentanen maximalen Gradienten. Das Volumen der Blase ist proportional zu \(r^3\) und dies ist nach der obigen Formel proportional zu \(1/G^3\). Alles in allem ist die erlaubte Differenz zwischen Gewebe- und Umgebungsdruck in der Tiefe \(d\) gegeben durch die Lösung von

$$\frac{G+p(d)}{G^3} = \frac {G_0+p_{1st\ ceiling}}{G_0^3}.$$

Folglich ist der der maximale Gradient keine Gerade mehr, sondern die Lösung einer kubischen Gleichung (für die wir in Subsurface auch einen analytischen Ausdruck verwenden statt wie im Originalcode eine Nullstellensuche mittels Newtonverfahren zu veranstalten).

 

Ich habe noch nicht erklärt, wie der Anfangsgradient \(G_0\) berechnet wird. Für VPM-B lautet der Ausdruck dafür

$$G_0 = 2 \frac\gamma{\gamma_c} \frac {\gamma_c – \gamma}{r_{reg}}.$$

Hier ist  \(r_{reg}\) der “Crushing-Radius”, der sich mittels

$$\frac{2(\gamma_c-\gamma)}{r_{reg}} = p_{max} + \frac{2(\gamma_c-\gamma)}{r_{crit}}$$

aus der Oberflächenspannung der Blase berechnen lässt.

Hier wiederum sind  \(\gamma\) und \(\gamma_c\) Oberflächenspannungen (am Ende: Modellparameter), ebenso wie \(r_{crit}\). Letzteres ist der Parameter, an dem man den Konservatismus des Modells einstellen kann: Jede zusätzliche Konservatismusstufe (zum Beispiel VPM-B+3) erhöht \(r_{crit}\) um 5 Prozent.  \(p_{max}\) ist das Maximum des Umgebungsdrucks während des Tauchgangs. Im Prinzip soll man diesen auch wieder exponentiell  an  \(r_{crit}\) angleichen; dies kann man aber getrost ignorieren, da die Halbwertzeit von zwei Wochen viel länger als alle relevanten Zeitskalen eines Tauchgangs sind.

Jetzt haben wir alles, was wir brauchen, um eine Deko-Profil zu berechnen: Für jede Tiefe kennen wir wie im Buhlmann-Modell den maximal erlaubten Überdruck.

Es stellt sich heraus, dass die so erhaltenen Dekoprofile viel zu lange dauern. Hier kommt der “Kritische-Volumen-Algorithmus” ins Spiel. Wir erhöhen leicht den Anfangsgradienten (bisher war das \(G_0\) und unterwerfen den dann ebenso der Boyle-Korrektur.

Die Idee dabei ist, dass der Körper eine bestimmte zusätzliche Menge an Gas in Blasenform verträgt. Dieses erlaubte Volumen ist wiederum ein Modellparameter und wird mit einem wie folgt für einen Anfangsgradienten \(G_0′\) berechnet: Es wird angenommen, dass es vor dem Tauchgang eine bestimmte Verteilung der Blasenzahl abhängig von ihrer Größe im Körper gibt. Dadurch, dass der Anfangsgradient von \(G_0\) auf \(G_0′\) erhöht wird, erhöht sich die Zahl der wachsenden Blasen (generell wachsen grosse Blasen, da bei ihnen der Druckanteil durch die Oberflächenspannung kleiner ist, siehe oben, während kleine schrumpfen). Die Zahl der zusätzlich wachsenden Blasen ist dann in linearer Näherung proportional zu (und dies ist einer der Orte, wo ich die Herleitung nicht verstehe, aber verwenden wir den Ausdruck trotzdem):

$$\frac{G_0′-G_0}{G_0′-\alpha G_{crush}}.$$

 

Hier ist  \(\alpha\) ein weiterer Modellparameter und  \(G_{crush}\) ist der maximale Überdruck des Umgebungsdrucks zum Gewebedruck während des Tauchgangs und nach den Regeln des Modells ebenso der maximale Unterschied zwischen dem Innen- und dem Außendruck einer Blase (wenn dieser zu groß ist, kommen wir ins “nichtpermeable Regime” und man wendet eine weitere Boyle-Kompensation an).

Eine weiter Annahme ist, dass die Rate mit der Gas in die Gasphase in Blasen geht, proportional zum Gradienten \(G_0′\) ist (die erfolgte Boyle-Compensation fällt hier unter den Tisch). Da man also annimmt, dass der Gradient während der Deko (definiert als die Zeit, zwischen dem Zeitpunkt, bei dem das erste Gewebe beginnt, den Gewebedruck wieder abzubauen bis zum Erreichen der Oberfläche) konstant ist, multiplizieren wir den Gradienten mit der Dekozeit (dies ist die Zeit \(t_D\) die wir oben berechnet haben, als wir den Dekoplan aus den Gradienten berechnet haben).

Sobald wir die Oberfläche erreichen, gibt es immer noch einen Überdruck im Gewebe, zunächst \(G_0′\) (wiederum wird die Boyle-Kompensation unterschlagen) und im Folgenden fällt dieser exponentiell entsprechend der obigen Diffusionsgleichung auf 0. Somit ist das Zeit-Integral des Gradienten an der Oberfläche \(G_0’/\alpha_i\). Nimmt man alles zusammen, ist das Kriterium für den neuen Gradienten \(G_0′\)

$$V\ge \frac{G_0′-G_0}{G_0′-\alpha G_{crush}} G_0′ \left(t_D +\frac 1{\alpha_i}\right)$$

Dies löst man nach \(G_0′\) auf, was dann für einen neuen Dekoplan benutzt wird, der wiederum ein neues \(t_D\) ergibt. Dieses Verfahren wiederholt man, bis sich \(G_0′\) nicht mehr ändert.

Bis auf etwas Kleingedrucktes (wie etwa wie der Dekoplan aus dem Gradienten im Detail berechnet wird) ist dies der gesamte VPM-B Algorithmus. Mit diesen Informationen kann man ihn im Prinzip selber implementieren.

In einem zukünftigen Post plane ich dann die Physik anzusehen, die aufgerufen wird, um die hier verwendeten Gleichungen herzuleiten.

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